Rangkuman Materi dan Soal Latihan Bentuk Akar (Kelas 10 SMA)

Halo Adik-adik kelas 10! Kali ini kita akan merangkum materi tentang bentuk akar. Bentuk akar ini penting banget karena sering muncul di pelajaran matematika selanjutnya dan juga di berbagai soal ujian. Yuk, kita mulai!

---

1. Apa Itu Bentar Akar?

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan rasional (tidak bisa dinyatakan dalam bentuk $a/b$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat dan $b \neq 0$).

Contoh:

• $\sqrt{2}$ adalah bentuk akar, karena hasilnya adalah 1.414… (bilangan irasional)
• $\sqrt{4}$ bukan bentuk akar, karena hasilnya adalah 2 (bilangan rasional)

---

2. Menyederhanakan Bentuk Akar

Menyederhanakan bentuk akar berarti mengubah bentuk akar menjadi bentuk yang paling sederhana. Caranya adalah dengan mencari faktor-faktor dari bilangan di dalam akar yang merupakan bilangan kuadrat sempurna.

Rumus: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

Contoh:

• Sederhanakan $\sqrt{12}$
  • Cari faktor dari 12 yang merupakan bilangan kuadrat sempurna (yaitu 4).
  • $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$
• Sederhanakan $\sqrt{50}$
  • $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

---

3. Operasi pada Bentuk Akar

a. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Bentuk akar bisa dijumlahkan atau dikurangkan jika akar-akarnya sejenis (bilangan di dalam akarnya sama).

Rumus:

• $a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c}$
• $a\sqrt{c} – b\sqrt{c} = (a-b)\sqrt{c}$

Contoh:

• $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
• $7\sqrt{5} – 2\sqrt{5} = (7-2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
• $4\sqrt{3} + \sqrt{12}$ (sederhanakan dulu $\sqrt{12}$)
  • $4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (4+2)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

b. Perkalian Bentuk Akar

Rumus:

• $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$
• $a\sqrt{c} \cdot b\sqrt{d} = (a \cdot b)\sqrt{c \cdot d}$

Contoh:

• $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{15}$
• $2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 3)\sqrt{6 \cdot 2} = 6\sqrt{12}$
  • Sederhanakan $6\sqrt{12} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$

c. Pembagian Bentuk Akar

Rumus: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Contoh:

• $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$

---

4. Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Merasionalkan penyebut berarti mengubah penyebut pecahan yang berbentuk akar menjadi bilangan rasional (tidak ada akar di penyebut).

a. Penyebut Berbentuk $\sqrt{a}$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$.

Rumus: $\frac{b}{\sqrt{a}} = \frac{b}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{b\sqrt{a}}{a}$

Contoh:

• Rasionalkan $\frac{5}{\sqrt{3}}$
  • $\frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

b. Penyebut Berbentuk $a + \sqrt{b}$ atau $a – \sqrt{b}$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan dari penyebut. Sekawan dari $a+\sqrt{b}$ adalah $a-\sqrt{b}$, dan sebaliknya.

Rumus yang perlu diingat: $(x+y)(x-y) = x^2 – y^2$

Contoh:

• Rasionalkan $\frac{2}{3 + \sqrt{5}}$
  • Sekawan dari $3+\sqrt{5}$ adalah $3-\sqrt{5}$.
  • $\frac{2}{3 + \sqrt{5}} \cdot \frac{3 – \sqrt{5}}{3 – \sqrt{5}} = \frac{2(3 – \sqrt{5})}{3^2 – (\sqrt{5})^2} = \frac{6 – 2\sqrt{5}}{9 – 5} = \frac{6 – 2\sqrt{5}}{4}$
  • Bisa disederhanakan lagi: $\frac{2(3 – \sqrt{5})}{4} = \frac{3 – \sqrt{5}}{2}$

c. Penyebut Berbentuk $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ atau $\sqrt{a} – \sqrt{b}$

Sama seperti poin b, kalikan dengan sekawan dari penyebut.

Contoh:

• Rasionalkan $\frac{4}{\sqrt{7} – \sqrt{3}}$
  • Sekawan dari $\sqrt{7} – \sqrt{3}$ adalah $\sqrt{7} + \sqrt{3}$.
  • $\frac{4}{\sqrt{7} – \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 – (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 – 3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$
  • Bisa disederhanakan lagi: $\sqrt{7} + \sqrt{3}$

---

4. Latihan soal

1. Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}=a+b\sqrt{30}$ maka $ab=\cdots$
   1. $-22$
   2. $-11$
   3. $-9$
   4. $2$
   5. $13$
2. Bentuk sederhana dari $\dfrac{\sqrt{143}+\sqrt{165}+\sqrt{195}+13}{\sqrt{11}+2\sqrt{13}+\sqrt{15}}$ adalah$\cdots$
   1. $\frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )$
   2. $\frac{1}{2} \frac{\left( \sqrt{15} – \sqrt{13} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{13} \right )}$
   3. $\frac{1}{2} \left( \sqrt{15} – \sqrt{11} \right )$
   4. $\frac{1}{2} \left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )$
   5. $\frac{\left( \sqrt{15} – \sqrt{11} \right )}{\left( \sqrt{15} + \sqrt{11} \right )}$
3. Jika $\sqrt{0,3+\sqrt{0,08}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\cdots$
   1. $25$
   2. $20$
   3. $15$
   4. $10$
   5. $5$
4. Jika dirasionalkan maka $1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{2}}=\cdots$
   1. $-1-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
   2. $-1-\sqrt{2}$
   3. $-\frac{1}{2}\sqrt{2}$
   4. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
   5. $2+\frac{1}{2}\sqrt{2}$
5. Nilai dari $\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{63}+\sqrt{64}}=\cdots$
   1. $10$
   2. $9$
   3. $8$
   4. $7$
   5. $6$
6. $\dfrac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}}+\dfrac{5}{1+\sqrt{6}}=\cdots$
   1. $\sqrt{6}$
   2. $1-\sqrt{6}$
   3. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
   4. $4-\sqrt{6}$
   5. $5-2\sqrt{6}$
7. Jika $r=\dfrac{20\sqrt{2}-25}{(10+20\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$, maka $(4r-2)^{2}=\cdots$
   1. $5$
   2. $4$
   3. $3$
   4. $2$
   5. $1$
8. Jika $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{9}=\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}$, maka $a=\cdots$
   1. $2-\sqrt{2}$
   2. $2$
   3. $2+\sqrt{2}$
   4. $8$
   5. $16$
9. Bentuk Sederhana dari $\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}+4}{\sqrt{41}-4}}-\sqrt{\dfrac{\sqrt{41}-4}{\sqrt{41}+4}}$ adalah$\cdots$
   1. $-\frac{8}{5}$
   2. $0$
   3. $\frac{16}{5}$
   4. $\frac{8}{5}$
   5. $5\sqrt{41}$
10. $\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}=\cdots$
    1. $2\sqrt{3}$
    2. $\sqrt{10}$
    3. $2\sqrt{2}$
    4. $\sqrt{11}$
    5. $3\sqrt{2}$
11. $\dfrac{5 \left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^{3}}{\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}=\cdots$
    1. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
    2. $3\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
    3. $2\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
    4. $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
    5. $4\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
12. $\sqrt{3+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\cdots$
    1. $4\sqrt{2}$
    2. $3+\sqrt{2}$
    3. $\sqrt{2}$
    4. $1$
    5. $0$
13. $\sqrt{\dfrac{8}{15}-2\sqrt{\dfrac{1}{15}}}=\cdots$
    1. $\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}}$
    2. $\frac{1}{\sqrt{3}} – \frac{1}{\sqrt{5}}$
    3. $\sqrt{3} + \sqrt{5}$
    4. $\sqrt{\frac{5}{3}- \sqrt{\frac{3}{5}}}$
    5. $\sqrt{5} – \sqrt{3}$
14. Bilangan bulat positif terkecil $n$ yang memenuhi pertidaksamaan $ \sqrt{n}-\sqrt{n-1} \lt 0,01 $ adalah…
    1. $2499$
    2. $2500$
    3. $2501$
    4. $10000$
    5. tidak ada bilangan bulat yang memenuhi
15. Bentuk Sederhana dari $\sqrt{9+\sqrt{17}}-\sqrt{9-\sqrt{17}}=\cdots$
    1. $1$
    2. $\sqrt{2}$
    3. $\sqrt{3}$
    4. $2$
    5. $\sqrt{5}$
16. Jika $\sqrt{7x^{2}-2x+432}+\sqrt{7x^{2}-2x-423}=285$, maka nilai $\sqrt{7x^{2}-2x+432}-\sqrt{7x^{2}-2x-423}=\cdots$
    1. $1$
    2. $2$
    3. $3$
    4. $4$
    5. $5$
17. Nilai dari $\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$ adalah…
    1. $1$
    2. $2$
    3. $3$
    4. $4$
    5. $5$
18. Bentuk sederhana dari $\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ adalah…
    1. $a+b-\sqrt{ab}$
    2. $a-b+\sqrt{ab}$
    3. $a+b+\sqrt{ab}$
    4. $a-b-\sqrt{ab}$
    5. $-a-b-\sqrt{ab}$
19. Nilai dari $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}-3$ adalah…
    1. $-2$
    2. $-1$
    3. $1$
    4. $1,5$
    5. $2$
20. Diberikan $a$ dan $b$ bilangan asli dengan $a \gt b$. Jika $\sqrt{95+2\sqrt{2016}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ maka nilai $a-b=\cdots$
    1. $25$
    2. $29$
    3. $31$
    4. $32$
    5. $35$
21. Diketahui $a,\ b,$ dan $c$ bilangan real yang didefinisikan sebagai berikut.
    $a=\sqrt{6 +\sqrt{ 6 + \sqrt{6 +\sqrt{\cdots}}}}$
    $b=\sqrt{20 +\sqrt{ 20 + \sqrt{20 +\sqrt{\cdots}}}}$
    Nilai $a+b=\cdots$
    1. $\sqrt{26}$
    2. $8$
    3. $2\sqrt{26}$
    4. $16$
    5. $26$
22. Penyederhanaan dari bentuk $\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}-\dfrac{5} {\sqrt{8}-\sqrt{3}}=\cdots$
    1. $-10$
    2. $-5$
    3. $-2$
    4. $2$
    5. $10$
23. Nilai dari $\dfrac{\sqrt{45}+\sqrt{18}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}}=\cdots$
    1. $3$
    2. $6$
    3. $9$
    4. $3\sqrt{2}$
    5. $2\sqrt{3}$
24. Nilai dari $\sqrt{4 +\sqrt{ 16 + \sqrt{64 +\sqrt{\cdots}}}}$ adalah…
    1. $2$
    2. $3$
    3. $4$
    4. $5$
    5. $6$
25. Bentuk Sederhana dari $78 \left( \sqrt{17+12\sqrt{2}}+\sqrt{17-12\sqrt{2}} \right)$ adalah…
    1. $234$
    2. $312$
    3. $468$
    4. $546$
    5. $624$
26. Bentuk sederhana dari $ \left( \sqrt{52+6\sqrt{43}} \right )^{3}-\left( \sqrt{52+6\sqrt{43}} \right )^{3}$ adalah…
    1. $184$
    2. $288$
    3. $476$
    4. $828$
    5. $900$
27. Bentuk sederhana dari $\sqrt{7+\sqrt{48}}$ adalah…
    1. $\sqrt{8}+\sqrt{7}$
    2. $\sqrt{7}+\sqrt{6}$
    3. $\sqrt{6}+ 1$
    4. $\sqrt{5}+\sqrt{2}$
    5. $\sqrt{4}+\sqrt{3}$
28. $\dfrac{5 \left(\sqrt{3}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)^{3}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\cdots$
    1. $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
    2. $3\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
    3. $2\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
    4. $3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
    5. $4\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
29. $\dfrac{\left (\sqrt[6]{x^{2}} \right )\left ( \sqrt[3]{x^{2}\sqrt{x+1}} \right )}{x\sqrt[6]{x+1}}=\cdots$
    1. $x\sqrt{x+1}$
    2. $x$
    3. $1$
    4. $\dfrac{1}{ \sqrt[8]{x^{2}}}$
    5. $\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}$
30. $\dfrac{\sqrt{20}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\cdots$
    1. $2$
    2. $2\sqrt{10}$
    3. $3$
    4. $3\sqrt{10}$
    5. $4$
31. Bentuk sederhana dari $\left(\sqrt{2}+\sqrt{3} \right)^{3}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2} \right)$ adalah…
    1. $5+2\sqrt{6}$
    2. $6+2\sqrt{6}$
    3. $5+3\sqrt{6}$
    4. $6+3\sqrt{6}$
    5. $7+2\sqrt{6}$
32. $\left(\sqrt{2}-\sqrt{3} \right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{5} \right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2} \right)=\cdots$
    1. $-2\sqrt{2}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}$
    2. $2\sqrt{2}+ \sqrt{3}-5\sqrt{5}$
    3. $-\sqrt{2}+3\sqrt{3}-5\sqrt{5}$
    4. $2\sqrt{2}+3\sqrt{3}-\sqrt{5}$
    5. $2\sqrt{2}-\sqrt{3}-5\sqrt{5}$
33. Jika $\sqrt{9-6\sqrt{2}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ maka $a-b=\cdots$
    1. $5$
    2. $4$
    3. $3$
    4. $2$
    5. $1$
34. Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar $\dfrac{x^{-1}-y^{-1}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}=\cdots$
    1. $\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy}$
    2. $\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{xy}$
    3. $\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{xy}$
    4. $xy \left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)$
    5. $xy \left( \sqrt{x} – \sqrt{y} \right)$
35. Bentuk $\dfrac{ \sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}$ dapat disederhanakan menjadi…
    1. $\frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+1 \right)$
    2. $\frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+1 \right)$
    3. $\frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{2}+1 \right)$
    4. $\frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1 \right)$
    5. $\frac{1}{3} \left( \sqrt[3]{4}+1 \right)$
36. $\dfrac{\left(9+\sqrt{5}\right)\left( 2\sqrt{5}+1 \right)}{ \sqrt{5}+1}=\cdots$
    1. $21\sqrt{5}$
    2. $19$
    3. $8\sqrt{5}$
    4. $15$
    5. $5\sqrt{5}$
37. Jika bilangan asli $a$ dan $b$ memenuhi $\sqrt{17+4\sqrt{15}}=a\sqrt{3}+b\sqrt{5}$, maka $b-a=\cdots$
    1. $-2$
    2. $-1$
    3. $1$
    4. $2$
    5. $3$
38. Jika bilangan bulat $a$ dan $b$ memenuhi $\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{5}}{\sqrt{10}+\sqrt{5}}=a+b\sqrt{2}$ maka $a+b=\cdots$
    1. $0$
    2. $1$
    3. $2$
    4. $3$
    5. $5$
39. Jika $\dfrac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}}=a+b\sqrt{5}$ maka $a+b=\cdots$
    1. $1$
    2. $2$
    3. $3$
    4. $4$
    5. $5$
40. Jika $a=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ dan $b=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ maka $a+b=\cdots$
    1. $0$
    2. $1$
    3. $8$
    4. $10$
    5. $14$
41. Jika $p=\left(3+2\sqrt{2} \right)^{-1}$ dan $q=\left(3 – 2\sqrt{2} \right)^{-1}$, maka $\left( 1+p \right)^{-1}+\left( 1+q \right)^{-1}=\cdots$
    1. $1$
    2. $2$
    3. $4$
    4. $6$
    5. $8$
42. Bentuk sederhana dari $\dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{7} \right)\left( \sqrt{3}-\sqrt{7} \right)}{2\sqrt{5}-4\sqrt{2}}$ adalah…
    1. $\frac{2}{3} \left(\sqrt{5}+2\sqrt{2} \right)$
    2. $\frac{2}{3} \left(2\sqrt{2}-\sqrt{5} \right)$
    3. $-\frac{2}{3} \left( 2\sqrt{5}+ 4\sqrt{2} \right)$
    4. $-\frac{4}{9} \left( 2\sqrt{5}+ 4\sqrt{2} \right)$
    5. $-\frac{4}{9} \left( 2\sqrt{5}-\sqrt{2} \right)$
43. Bentuk sederhana dari $\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}=\cdots$
    1. $-\frac{3}{5}\sqrt{21}-\sqrt{6}$
    2. $-\frac{3}{5}\sqrt{21}+\sqrt{6}$
    3. $\frac{3}{5}\sqrt{20}-\frac{3}{5}\sqrt{5}$
    4. $\frac{3}{5} \sqrt{21}- \frac{3}{5}\sqrt{6}$
    5. $\frac{3}{5}\sqrt{21}+\frac{3}{5}\sqrt{6}$
44. Bentuk sederhana dari $\dfrac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}{\sqrt{3}+2}$ adalah…
    1. $4- 2\sqrt{3}$
    2. $2 -\sqrt{3}$
    3. $-2-\sqrt{3}$
    4. $-4+ \sqrt{3}$
    5. $-4-2\sqrt{3}$

About the Author

Math My Id

Administrator

Author's website Author's posts